Un nuevo estudio realizado por matemáticos de la Frei Universität Berlin muestra que el mosaico plano, también conocido como teselación, es mucho más que una técnica decorativa. Los teselados cubren una superficie con una o más formas geométricas sin espacios ni superposiciones, y los investigadores demuestran que estas estructuras pueden servir como herramientas precisas para abordar problemas matemáticos difíciles. Los hallazgos aparecen en el artículo “Belleza en/de las Matemáticas: Teselaciones y sus fórmulas”, escrito por Heinrich Begehr y Dajiang Wang y publicado en la revista Análisis aplicable. El trabajo combina conceptos de análisis complejo, ecuaciones diferenciales parciales y teoría de funciones geométricas.
En el centro de la investigación se encuentra el “Principio de Parketing-Reflexión”. Este método refleja formas geométricas repetidas a lo largo de sus bordes para llenar un plano, creando patrones simétricos y muy ordenados. Un ejemplo visual muy conocido de este tipo de mosaico se puede encontrar en la obra de MC Escher. Los investigadores demuestran que más allá de su atractivo visual, estos reflejos desempeñan un papel práctico en el análisis matemático. Se pueden utilizar, por ejemplo, para ayudar a resolver problemas clásicos de valores en la frontera, como el problema de Dirichlet o el problema de Neumann.
Belleza con estructura y propósito.
“Nuestra investigación muestra que la belleza de las matemáticas no es sólo un concepto estético, sino algo con profundidad estructural y eficiencia”, afirma el profesor Heinrich Begehr. “Si bien investigaciones anteriores sobre teselaciones se han centrado principalmente en cómo se pueden usar las formas para colocar mosaicos o cubrir una superficie (por ejemplo, algunos trabajos bien conocidos del premio Nobel Sir Roger Penrose), usar el método de reflexión del parquet para crear nuevos teselados abre nuevas posibilidades. Esta es un área de funcionalidad que podría representar vías prácticas entre estas áreas. En campos como la física matemática y la ingeniería. Sea útil”.
Un resultado clave de este enfoque es la capacidad de derivar fórmulas exactas para funciones del núcleo. Estos incluyen los núcleos de Green, Neumann y Schwarz, que son herramientas importantes para resolver problemas de valores límite en física e ingeniería. Al combinar patrones geométricos con fórmulas analíticas, la investigación une el pensamiento visual intuitivo y la precisión matemática rigurosa.
Interés creciente y aplicaciones en expansión
El principio de reflexión de Parkett ha atraído una atención cada vez mayor durante más de diez años y se ha vuelto particularmente popular entre los investigadores que inician su carrera. Desde su introducción, quince disertaciones y tesis finales en la Frei Universität se han centrado en el tema, con siete disertaciones adicionales completadas por investigadores de otros países.
El método no se limita a espacios planos conocidos o euclidianos. Esto también se aplica a la geometría hiperbólica, que se utiliza comúnmente en la física teórica y en los modelos modernos del espacio-tiempo. El interés en esta área continúa creciendo. El año pasado, Begehr publicó un artículo titulado “Teselación hiperbólica: funciones del verde armónico para un triángulo de Schweikart en geometría hiperbólica” en la revista Complex Variables and Elliptic Equations, en el que mostró cómo se puede utilizar el principio de reflexión de Perketing para construir funciones hiperbólicas del plano hiperbólico en el tribole de Schweikert.
“Esperamos que nuestros resultados no sólo resuenen en las matemáticas puras y en la física matemática”, dice Dajiang Wang, “sino que incluso puedan inspirar ideas en campos como la arquitectura o la infografía”.
Tradición del mosaico en Berlín
Desde hace casi veinte años, un equipo de investigación dirigido por Heinrich Beger, del Instituto de Matemáticas de la Universidad Frei de Berlín, investiga lo que se conoce como “el mosaico de espejos de Berlín”. Este método se basa en el principio de reflexión unificada desarrollado por el matemático berlinés Hermann Amandas Schwarz (1843-1921).
En este método, un polígono circular (una forma cuyos bordes consisten en segmentos de líneas rectas y arcos circulares) se refleja una y otra vez hasta que llena todo el plano sin superposiciones ni espacios. Estos diseños son visualmente diferentes, pero también permiten escribir representaciones integrales explícitas de funciones, que son esenciales para resolver problemas complejos de valores en la frontera.
“Alguna vez los matemáticos tuvieron que utilizar un espejo de tocador de tres partes para crear una secuencia interminable de imágenes”, dice Begehr. “Hoy en día, podemos utilizar programas informáticos iterativos para producir el mismo efecto, y podemos complementarlo con las fórmulas matemáticas exactas utilizadas en análisis complejos”.
Triángulo de Schweikart y geometría hiperbólica.
Las teselaciones en el espacio hiperbólico son particularmente interesantes pero particularmente difíciles de analizar. Estos patrones suelen aparecer dentro de un disco circular y requieren herramientas matemáticas sofisticadas. Un concepto clave en este ámbito es el “triángulo de Schweikart”, un tipo especial de triángulo que tiene un ángulo recto y dos ángulos cero. Lleva el nombre del matemático aficionado y profesor de derecho Ferdinand Kurt Schweikert (1780-1857).
El triángulo de Schweikart permite a los matemáticos formar mosaicos completos y regulares de un disco circular. Los patrones resultantes son visualmente impresionantes y pueden inspirar a diseñadores en campos como la infografía y la arquitectura. Al mismo tiempo, los fundamentos matemáticos detrás de estas construcciones son muy avanzados y requieren un trabajo analítico cuidadoso.
Las matemáticas como ciencia visual.
Los hallazgos del equipo resaltan un aspecto de las matemáticas que a menudo se pasa por alto. Las matemáticas no son una disciplina abstracta centrada únicamente en símbolos y ecuaciones. Es una ciencia visual, donde la estructura, la simetría y la estética juegan un papel importante. Combinados con modernas herramientas de visualización, software de gráficos y técnicas digitales, estos conceptos adquieren mayor relevancia e impacto práctico.
