Durante más de 150 años, un concepto rector de la geometría ha dado forma a la forma en que los matemáticos piensan sobre las superficies. Originario del matemático francés Pierre Ossian Bonnet, el principio establece que si se conocen dos propiedades clave de una superficie compacta en cada punto, su curvatura métrica y media, entonces se puede determinar su forma exacta. Un nuevo resultado de matemáticos de la Universidad Técnica de Munich (TUM), la Universidad Técnica de Berlín y la Universidad Estatal de Carolina del Norte muestra que esta suposición no siempre se cumple.
Para desafiar el concepto aceptado desde hace mucho tiempo, los investigadores crearon dos superficies compactas e independientes con forma de donut, conocidas como tori. Estas dos superficies comparten valores idénticos tanto para la curvatura métrica como para la promedio, pero su estructura general no es la misma. Se han buscado ejemplos de este tipo durante décadas pero nunca se han encontrado.
La métrica describe la distancia a lo largo de una superficie, es decir, qué tan separados están dos puntos cuando se miden a través de ella. La curvatura promedio captura cómo la superficie se dobla en el espacio, indicando si se curva hacia adentro o hacia afuera y en qué medida.
Límites de la regla de Bonnet para la geometría de superficies.
Los matemáticos ya eran conscientes de que la regla de Bonnet no se aplica en todas las situaciones. Las excepciones conocidas involucran superficies no compactas, que se extienden infinitamente, como un plano, o donde terminan los bordes. Por el contrario, se pensaba que las superficies compactas, como las esferas, obedecían reglas, y la curvatura métrica y media determinaba completamente su forma.
Para superficies en forma de toro, trabajos anteriores muestran que un único conjunto de valores de curvatura media y métrica puede corresponder a dos formas diferentes. Sin embargo, nadie ha podido presentar un ejemplo claro y concreto que demuestre esta posibilidad.
Finalmente se ha encontrado un contraejemplo largamente buscado
Un nuevo trabajo llena ese vacío. Al crear un par de tori que coinciden con las medidas locales pero que difieren globalmente, el equipo proporcionó el primer ejemplo claro de este fenómeno.
“Después de muchos años de investigación, logramos por primera vez encontrar un caso concreto que muestra que incluso para superficies cerradas en forma de rosquilla, los datos de medición locales no definen necesariamente una forma global única”, dijo Tim Hoffmann, profesor de Topología Computacional y Aplicada en la Escuela de Computación, Información y Tecnología de la TUM. “Esto nos permite resolver un problema de décadas de antigüedad en geometría diferencial para superficies”.
El hallazgo resuelve una cuestión de larga data en geometría y destaca una visión profunda. Incluso con información local completa, no siempre se puede determinar de forma única la forma completa de una superficie.
