Gran álgebra: un diccionario de matemáticas abstractas

El conjunto de herramientas técnicas: coordinación y transformación, de la estética a la funcionalidad

• Armonía No es sólo una cuestión de estética y equilibrio, sino también una característica muy frecuente en todos los ámbitos de la vida. Matemáticamente, el equilibrio es una forma de ‘invariancia‘: Incluso cuando se somete a determinadas operaciones o transformaciones, un objeto matemático paralelo permanece sin cambios.
  • El grupo de todas las transformaciones bajo las cuales un objeto matemático permanece invariante se llamagrupo de armonía.’
  • La simetría, como la rotación de un círculo o una esfera, se puede clasificar como ‘Constantemente.’ (Por el contrario, un ‘ejemplo de’discreto‘ La simetría es el reflejo de un objeto bilateralmente simétrico, como las alas de una mariposa).
  • Los grupos de simetría continua se expresan matemáticamente. Matriz – Matrices rectangulares de números, que pueden transformar las propiedades de un objeto matemático en álgebra lineal.
• Los grupos de simetría continua se llaman ‘el cambiable‘Cuando el orden de las operaciones o transformaciones no importe, o’Sin alterar‘ En el caso contrario.
  • La rotación de un círculo se puede ver como a. Grupo de simetría continua variacional. Por el contrario, el grupo de simetría del planeta Tierra es invariante: si uno comienza mirando el ecuador que pasa por África, girar hacia la izquierda y luego hacia abajo no produce el mismo resultado que girar hacia abajo y luego hacia la izquierda. En el primer caso, la mirada se centraría en el Polo Sur. En otro, se llegaría al ecuador del hemisferio occidental con los polos colocados horizontalmente.
  • Grupos de simetría sin cambios Hasta ahora representado por La matriz no transformadaEs decir, métricas en las que el orden de las operaciones incide en el resultado final. Sin embargo, no permite una interpretación geométrica porque aún no se comprende bien la geometría del álgebra invariante. Por otro lado, las álgebras variacionales se pueden entender mejor a través de su geometría.
  • Oh “Gran Álgebra” Una matriz invariante es una “traducción” variable del álgebra y, por tanto, permite el uso de técnicas de geometría algebraica. Como resultado, el álgebra amplia arrojó nueva luz sobre las propiedades de los grupos simétricos continuos invariantes.

Las matemáticas, la más exacta de las disciplinas científicas, pueden verse como la búsqueda definitiva de la verdad absoluta. Sin embargo, los caminos matemáticos hacia la verdad a menudo requieren superar obstáculos formidables, como conquistar picos montañosos increíblemente altos o construir puentes gigantescos entre continentes aislados. El mundo de las matemáticas está lleno de misterios y muchas disciplinas matemáticas se han desarrollado a lo largo de caminos complicados, en completo aislamiento unas de otras. Por lo tanto, establecer una verdad indiscutible en torno a fenómenos complejos en el mundo físico requiere mucha intuición y abstracción. Incluso los aspectos más básicos de la física llevan las matemáticas a nuevas alturas de complejidad. Esto es especialmente cierto en el caso de los sincrotrones, con los que los físicos han teorizado y descubierto todo un zoológico de partículas subatómicas que componen nuestro universo.

En un esfuerzo extraordinario, el profesor Tamas Hassel del Instituto de Ciencia y Tecnología de Austria (ISTA) no sólo hizo conjeturas sino que también demostró una nueva herramienta matemática llamada “gran álgebra”. Esta nueva teoría es comparable a un “diccionario” que utiliza la geometría algebraica para comprender los aspectos más abstractos de la simetría matemática. Operando en la intersección de la simetría, el álgebra abstracta y la geometría, el álgebra mayor utiliza información geométrica más concreta para replantear información matemática sofisticada sobre la simetría. “Con grandes álgebras, la información de la ‘punta del iceberg matemático’ puede brindarnos una visión sin precedentes de las profundidades ocultas del misterioso mundo de los grupos de simetría”, dice Hozel. Con este avance matemático, Hüzel intenta reforzar la conexión entre dos campos matemáticos distantes: “Imagínese, por un lado, el mundo de las representaciones matemáticas de la física cuántica y, por otro lado, el mundo puramente matemático, muy, muy lejano. de Teoría de Números Con el presente trabajo, espero haber dado un paso más hacia el establecimiento de una conexión estable entre estos dos mundos.”

No más pérdidas en la traducción.

17^ThEl filósofo y matemático de principios de siglo, René Descartes, nos mostró que podemos comprender la geometría de los objetos mediante ecuaciones algebraicas. Por tanto, fue el primero en “traducir” el conocimiento matemático entre estos campos previamente separados. “Me gusta ver las relaciones entre diferentes campos matemáticos como léxicos que traducen información entre lenguajes matemáticos que a menudo no son mutuamente inteligibles”, dice Hozel. Hasta ahora se han desarrollado varios “diccionarios” matemáticos de este tipo, pero algunos traducen información en una sola dirección, cifrando completamente la información sobre el camino de regreso. Además, el término “álgebra” abarca hoy tanto el álgebra clásica, como en la época de Descartes, como el álgebra abstracta, es decir, el estudio de estructuras matemáticas que no necesariamente pueden expresarse con valores numéricos. Esto añade otra capa de complejidad. Ahora, Hozel utiliza el álgebra abstracta y la geometría algebraica como un “diccionario” de dos vías.

Un esqueleto y nervios

En matemáticas, la simetría se define como una forma de “invariancia”. Un grupo de transformaciones que mantienen un objeto matemático sin cambios se llama “grupo de simetría”. Se clasifican como “continuos” (por ejemplo, la rotación de un círculo o esfera) o “discretos” (por ejemplo, el reflejo de un objeto). Los grupos de simetría periódica se representan matemáticamente mediante matrices: conjuntos rectangulares de números. A partir de la representación matricial de un grupo de simetría continuo, Hozel puede calcular un álgebra grande y representar geométricamente sus propiedades esenciales dibujando su “esqueleto” y sus “nervios” en una superficie matemática. El esqueleto y el nervio de grandes álgebras dan lugar a formas interesantes imprimibles en 3D que replican aspectos sutiles de la información matemática original, cerrando así el alcance de la traducción. “Estoy particularmente entusiasmado con este trabajo, porque nos brinda una forma completamente nueva de estudiar la representación de grupos con simetría continua.

Disolver continentes aislados en un vasto mundo de matemáticas

¿Cómo pueden las grandes álgebras fortalecer la conexión entre la física cuántica y la teoría de números, dos campos de las matemáticas aparentemente muy separados? Primero, las matemáticas detrás de la física cuántica hacen un uso extensivo de matrices: conjuntos rectangulares de números. Sin embargo, estas matrices suelen ser “invariantes”, lo que significa que multiplicar la primera matriz por la segunda no produce el mismo resultado que multiplicar la segunda por la primera. Esto plantea un problema en álgebra y geometría algebraica porque el álgebra invariante aún no se comprende bien. Las álgebras grandes ahora resuelven este problema: cuando se calcula, un álgebra grande es una “traducción matemática” variable de un álgebra matricial invariante. De esta manera, la información inicialmente encerrada dentro de matrices no transformadas puede decodificarse y representarse geométricamente para revelar sus propiedades ocultas.

En segundo lugar, Hassell muestra que las álgebras grandes muestran relaciones no sólo entre grupos de simetría relacionados, sino también cuando se relacionan con sus llamados “duales de Langlands”. Estos duales son un concepto central en el mundo puramente matemático de la teoría de números. En el programa de Langland, un léxico altamente complejo y a gran escala que intenta llenar “continentes” matemáticos aislados, la dualidad de Langland es un concepto o herramienta que permite “mapear” información matemática entre diferentes categorías. “En mi trabajo, las álgebras grandes conectan diferentes grupos de simetría exactamente cuando sus duales de Langlands están relacionados, lo cual es un resultado bastante sorprendente con aplicaciones potenciales en la teoría de números”, dice Haussell.

“Lo ideal sería que el gran álgebra me permitiera combinar la dualidad de Langlands en la teoría de números con la física cuántica”, dice Hozel. Por ahora, pudo demostrar que las álgebras grandes resolvían ambos problemas continentales. La niebla ha comenzado a disiparse y los continentes de la física cuántica y la teoría de números vislumbran sus montañas y playas en el horizonte. Pronto, en lugar de conectar los continentes sólo por barco, un puente de álgebras masivas podría permitir cruzar fácilmente los estrechos matemáticos que los separan.